Алгебраическое число

Определение "Алгебраическое число" в Большой Советской Энциклопедии

Алгебраическое число, число а, удовлетворяющее алгебраическому уравнению a₁aⁿ+ ... + акa +a_n+1 = 0, где n ³ 1, a₁, ..., a_n, a_n+1 — целые (рациональные) числа. Число a называется целым Алгебраическое число, если a₁ = 1. Если многочлен f(x) = a₁xⁿ + ... + a_nx + a_n+1 не является произведением двух др. многочленов положительной степени с рациональными коэффициентом, то число n называется степенью Алгебраическое число a. Простейшие Алгебраическое число — корни двучленного уравнения xⁿ = а, где а — рациональное число. Например, Алгебраическое число будут рациональные числа, числа

  целыми Алгебраическое число будут целые числа, числа

С понятием Алгебраическое число тесно связаны два больших направления в теории чисел. 1) Арифметика Алгебраическое число (алгебраическая теория чисел), созданная Э. Куммером в середине 19 в., изучает свойства Алгебраическое число Целые Алгебраическое число обладают рядом свойств, аналогичных свойствам целых рациональных чисел, однако теорема об единственности разложения числа на простые множители не имеет места в теории целых Алгебраическое число Для сохранения единственности разложения Куммер ввёл в рассмотрение т. н. «идеальные» числа (см. Идеал). 2) Теория приближения Алгебраическое число изучает степень приближения Алгебраическое число рациональными числами или алгебраическими же числами. Первым результатом в этом направлении была теорема Ж. Лиувилля, показывающая, что Алгебраическое число «плохо» приближаются рациональными числами, точнее: если a - Алгебраическое число степени n, то при любых целых рациональных р и q имеет место неравенство [a - p/q] > C/qⁿ, где С = С(a) > 0 — постоянная, не зависящая от р и q, отсюда следует, что легко построить произвольное количество неалгебраических — трансцендентных чисел.
 

  Лит.: Гекке Э., Лекции по теории алгебраических чисел, пер. с нем., М. — Л., 1940; Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952; Боревич З. И., Шафаревич И. P., Теория чисел, М., 1964.
  А. А. Карацуба.