Дробь (в арифметике)

Определение "Дробь (в арифметике)" в Большой Советской Энциклопедии

Дробь в арифметике, число, составленное из целого числа долей единицы. Дробь (в арифметике) изображается символом

где m — числитель Дробь (в арифметике) — показывает число взятых долей единицы, разделённой на столько долей, сколько показывает (знаменует) знаменатель n. Дробь (в арифметике) можно рассматривать как частное от деления одного целого числа (m) на другое (n). Если m делится нацело на n, то частное

обозначает целое число, например,

В случае, когда это не так, частное

является дробным числом, например,

Числитель и знаменатель Дробь (в арифметике) можно одновременно умножать или делить на одно и то же число, не изменяя величины Дробь (в арифметике) Всякую Дробь (в арифметике) можно представить посредством сокращения в виде несократимой, т. е. такой, у которой числитель и знаменатель не имеют общих множителей, например  есть сократимая Дробь (в арифметике)

а  несократимая. Чтобы сложить Дробь (в арифметике) с общим знаменателем, надо сложить их числители и оставить тот же знаменатель:

Чтобы сложить несколько Дробь (в арифметике) с разными знаменателями, надо предварительно привести их к общему знаменателю. Подобным же образом совершается вычитание Дробь (в арифметике) Чтобы перемножить несколько Дробь (в арифметике), надо произведение числителей разделить на произведение знаменателей:

Определяя деление как действие, обратное умножению, получают следующее правило деления Дробь (в арифметике):

Если числитель Дробь (в арифметике) меньше знаменателя, то Дробь (в арифметике) называется правильной, в противном случае — неправильной. Неправильная Дробь (в арифметике) может быть представлена в виде суммы целого числа и правильной Дробь (в арифметике) (смешанного числа). Для этого надо числитель разделить (с остатком) на знаменатель. Например,

Это положение элементарной арифметики обобщается на любые действительные числа: действительное число х можно единственным образом представить в виде х = n + d, где n — целое и 0 £ d < 1. Число n называется целой частью х и обозначается [x]. Число d = х — [x] называется дробной частью х.

Десятичной дробью называется Дробь (в арифметике), знаменатель которой есть степень 10. Такую Дробь (в арифметике) пишут без знаменателя; например,

О непрерывных Дробь (в арифметике) см. Непрерывная дробь.

Операции над Дробь (в арифметике) встречаются уже в древнеегипетском папирусе Ахмеса (около 2000 до н. э.), где считаются допустимыми только Дробь (в арифметике) Вида

(аликвотные Дробь (в арифметике)), а потому ставится своеобразная «египетская» задача о представлении любой Дробь (в арифметике) суммой неравных между собой Дробь (в арифметике) вида

(к последним, в виде исключения, присоединялась ещё Дробь (в арифметике) ). Например,

В древневавилонских памятниках письменности встречаются так называемые сексагезимальные Дробь (в арифметике), т. е. Дробь (в арифметике), знаменатель которых есть степень 60, игравшие большую роль в античной арифметике; деление единицы на 60 и 3600 = 60² частей сохранилось и до настоящего времени в делении часа или градуса на 60 мин

и каждой минуты на 60 сек. У древних индийцев, по-видимому, впервые зародилось современное обозначение Дробь (в арифметике)
Лит.: Энциклопедия элементарной математики, кн. 1 — Арифметика, М.—Л., 1951; Депман И. Я., История арифметики, 2 изд., М., 1965.