Производная

Определение "Производная" в Большой Советской Энциклопедии

Производная, основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции; Производная есть функция, определяемая для каждого х как предел отношения: , если он существует. Функцию, имеющую Производная, называют дифференцируемой.

Всякая дифференцируемая функция непрерывна; обратное утверждение неверно: существуют даже непрерывные функции, не имеющие Производная ни в одной точке (см. Непрерывная функция). Для функций действительного переменного сама Производная может быть недифференцируемой и даже разрывной. В комплексной же области существование первой Производная влечёт существование Производная всех порядков. О Производная функций многих переменных (частная Производная), а также о правилах нахождения Производная и различных приложениях см. в ст. Дифференциальное исчисление.

  В теории функций действительного переменного изучаются, в частности, функциональные свойства Производная и различные обобщения понятия «Производная». Так, например, всюду существующая Производная относится к функциям первого класса по Бэра классификации; Производная (даже если она разрывна) принимает все промежуточные значения между наименьшим и наибольшим. Из различных обобщений понятия «Производная» наиболее существенны следующие.

Производные числа. Верхним правым производным числом D_d называют верхний предел отношения  при , где x₁ > х. Аналогично определяют нижнее правое l_d, верхнее D_s и нижнее l_s левые производные числа. Если D_d = l_d (D = l_s), то f (x) имеет в точке х одностороннюю правую (левую) Производная Обыкновенная Производная существует, если все четыре производных числа конечны и совпадают. Производные числа были введены итал. математиком У. Дини (1878). Как показал Н. Н. Лузин (1915), если все четыре производных числа конечны на некотором множестве, то функция имеет обычную Производная всюду на этом множестве, кроме точек множества меры нуль (см. Мера множества).

  Асимптотическая (или аппроксимативная) производная была введена А. Я. Хинчиным (1916). Асимптотической Производная называется предел отношения , когда x₁ ® x пробегая точки множества, для которого х является плотности точкой.