Пуассона распределение

Определение "Пуассона распределение" в Большой Советской Энциклопедии

Пуассона распределение. Рис.

Пуассона распределение, одно из важнейших распределений вероятностей случайных величин, принимающих целочисленные значения. Подчинённая Пуассона распределение случайная величина Х принимает лишь неотрицательные значения, причём Х = kc вероятностью
, k = 0, 1, 2,...

(l — положительный параметр). Своё название «Пуассона распределение» получило по имени С. Д. Пуассона (1837). Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей Пуассона распределение с параметром l, равны l. Если независимые случайные величины X₁ и X₂ имеют Пуассона распределение с параметрами l₁ и l₂, то их сумма X₁ + X₂ имеет Пуассона распределение с параметрами l₁ + l₂.

В теоретико-вероятностных моделях Пуассона распределение используется как аппроксимирующее и как точное распределение. Например, если при n независимых испытаниях события A₁,..., A_n осуществляются с одной и той же малой вероятностью р, то вероятность одновременного осуществления каких-либо k событий (из общего числа n) приближённо выражается функцией p_k (np) (математическое содержание этого утверждения при больших значениях n и 1/р формулируются Пуассона теоремой). В частности, такая модель хорошо описывает процесс радиоактивного распада и многие др. физические явления.

Как точное Пуассона распределение появляется в теории случайных процессов. Например, при расчёте нагрузки линий связи обычно предполагают, что количества вызовов, поступивших за непересекающиеся интервалы времени, суть независимые случайные величины, подчиняющиеся Пуассона распределение с параметрами, значения которых пропорциональны длинам соответствующих интервалов времени (см. Пуассоновский процесс).

В качестве оценки неизвестного параметра l по n наблюдённым значениям независимых случайных величин X₁,..., X_n используется их арифметическое среднее X = (X₁ +... + X_n)/n, поскольку эта оценка лишена систсматической ошибки и её квадратичное отклонение минимально (см. Статистические оценки).
 
  Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М. — Л., 1969; Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967.