Степенной ряд

Определение "Степенной ряд" в Большой Советской Энциклопедии

Степенной ряд, ряд вида a₀ + a₁z + a₂z² +... + a_nzⁿ +...,

  где коэффициенты a₀, a₁, a₂,..., a_n,... — комплексные числа, не зависящие от комплексного переменного z. Областью сходимости Степенной ряд является, вообще говоря, открытый круг D = {z: |z| < R} с центром в точке z = 0. Этот круг называется кругом сходимости Степенной ряд, а его радиус R — радиусом сходимости Степенной ряд В частных случаях круг сходимости может вырождаться в точку z = 0 (в этом случае R = 0; пример: ) или совпадать со всей комплексной плоскостью (R = ¥; пример: ). Радиус сходимости С выражается через его коэффициенты по формуле Коши — Адамара
.

  Во всех точках круга сходимости Степенной ряд сходится абсолютно; в граничных точках этого круга (в точках окружности |z| = R) Степенной ряд может как сходиться, так и расходиться. Примеры: , R = 1, ряд расходится в каждой точке окружности ;
, R = 1,

ряд абсолютно сходится во всех точках окружности . В любой внешней точке круга сходимости (lzl > R) Степенной ряд расходится. Внутри круга сходимости сумма Степенной ряд  является аналитической функцией; производные любого порядка функции f (z) можно получить почленным дифференцированием данного ряда, причём Степенной ряд совпадает с Тейлора рядом своей суммы.
  А. А. Гончар.