Функции множества

Определение "Функции множества" в Большой Советской Энциклопедии

Функции множества, функции, сопоставляющие каждому множеству из некоторого класса множеств определённое число. Например, длина отрезка является Функции множества, определённой на классе всех отрезков на прямой (функцией отрезка).

Интеграл  при заданной интегрируемой функции j(x) также является функцией отрезка — интервала интегрирования [a, b]. Рассматривают также функции от областей на плоскости или в пространстве. Например, при заданном распределении плотностей масса, заключённая в данной области W, является функцией этой области. Понятие функции области — более гибкий аппарат для описания физических явлений, чем понятие функции точки, т.к. позволяет учитывать случаи, когда плотность физических величин в отдельных точках бесконечна (точечные источники и т.д.). Кроме того, это понятие более отвечает условиям физического эксперимента (при котором наблюдается не функция точки, а среднее от этой функции по некоторой малой области).

Понятие Функции множества получило развитие в связи с построением теории интеграла Лебега, в которой приходится рассматривать не только функции от областей, но и функции от произвольных измеримых множеств. Одним из первых примеров такой Функции множества является мера Лебега m(Е) измеримого множества Е (см. Мера множества). Эта Функции множества вполне аддитивна, т. е. мера суммы любой конечной или счётной совокупности непересекающихся измеримых множеств есть сумма мер этих множеств. Наряду с лебеговской мерой множеств рассматривают др. меры, являющиеся неотрицательными вполне аддитивными Функции множества, определёнными на соответствующем классе множеств. Такие Функции множества встречаются в общей теории интеграла. Функции множества f (E) называют абсолютно непрерывной относительно некоторой меры m, если f (E) = 0 при m(Е) = 0. Так, интеграл Лебега  заданной суммируемой функции j(x) по множеству М является вполне аддитивной абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) функцией от М. Обратно, всякая вполне аддитивная абсолютно непрерывная Функции множества может быть представлена в качестве интеграла Лебега от некоторой суммируемой функции j(x). Важным примером Функции множества являются распределения вероятностей.
Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976; Халмош П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953