Характеристика (в математике)

Определение "Характеристика (в математике)" в Большой Советской Энциклопедии

Характеристика в математике, 1) целая часть десятичного логарифма.
2) Понятие теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Характеристика (в математике) дифференциального уравнения 1-го порядка
,     (1)

где Р = P (x, y, z), Q = Q (x, y, z), R = R (x, y, z) — заданные функции, называются кривые, определяемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений
.     (2)

Интегрируя систему (2), получают семейство характеристик j(x, y, z) = C₁, y(x, y, z) = C₂ (C₁, C₂ — произвольные постоянные) как совокупность кривых, касающихся в каждой своей точке вектора {P, Q, R}. Всякая интегральная поверхность уравнения (1) представляет собой геометрическое место Характеристика (в математике), пересекающих некоторую кривую; уравнение такой поверхности может быть записано в виде F[j(x, y, z), y(x, y, z)] = 0, где F — некоторая функция двух переменных. Обратно, чтобы найти интегральную поверхность, проходящую через заданную кривую (см. Коши задача), достаточно построить геометрическое место Характеристика (в математике), пересекающих эту кривую. Задача Коши имеет одно и только одно решение, если заданная кривая не является Характеристика (в математике) Понятие Характеристика (в математике) обобщается на случай дифференциального уравнения 1-го порядка с числом независимых переменных, большим двух.
Характеристика (в математике) дифференциального уравнения 2-го порядка
     (3)
были введены Г. Монжем (1784, 1795) как линии, вдоль которых удовлетворяется обыкновенное дифференциальное уравнение
.     (4)

Если уравнение (3) принадлежит к гиперболическому типу, то получаются два семейства Характеристика (в математике) с уравнениями x(x, y) = C₁ и h(х, у) = C₂ (C₁, C₂ — произвольные постоянные); взяв x и h за новые аргументы, можно привести уравнение (3) к виду
.
Для уравнения (3) параболического типа эти семейства совпадают; если выбрать аргумент h произвольно, то уравнение (3) приведется к виду
.

Уравнение (3) эллиптического типа не имеет вещественных Характеристика (в математике); если записать решение уравнения (4) в виде x ± ih = C, то уравнение (3) преобразуется к виду
.

Значения решения и вдоль Характеристика (в математике) и значения  и  в какой-либо её точке полностью определяют значения этих производных вдоль всей линии [на этом основан т. н. метод Характеристика (в математике) решения краевых задач для уравнения (3)]; для других линий такой связи нет. С другой стороны, значения u,  и , заданные на линии, не являющейся Характеристика (в математике), определяют значения решения вблизи этой линии; для Характеристика (в математике) же это не так. Если два решения уравнения (3) совпадают по одну сторону от некоторой линии и различны по другую, то эта линия непременно является Характеристика (в математике)

Если коэффициенты уравнения (3) зависят от u,  и  (квазилинейный случай), то Характеристика (в математике), определяемые из уравнения (4), будут разные для разных решений. Имеются определения Характеристика (в математике) и для уравнений и систем уравнений с частными производными любого порядка.
Лит. см. при ст. Уравнения математической физики.