Характеристическое уравнение

Определение "Характеристическое уравнение" в Большой Советской Энциклопедии

Характеристическое уравнение в математике,
1) Характеристическое уравнение матрицы - алгебраическое уравнение вида
;

определитель, стоящий в левой части Характеристическое уравнение, получается из определителя матрицы А = ||a_ik||ⁿ₁ вычитанием величины l из диагональных элементов. Этот определитель представляет собой многочлен относительно Х - характеристический многочлен. В раскрытом виде Характеристическое уравнение записывается так:
,

где S₁ = a₁₁ + a₂₂ +... a_nn - т. н. след матрицы, S₂ - сумма всех главных миноров 2-го порядка, т. е. миноров вида  (i < k) и т.д., а S_n - определитель матрицы А. Корни Характеристическое уравнение l₁, l₂,..., l_n называются собственными значениями матрицы А. У действительной симметричной матрицы, а также у эрмитовой матрицы все l_k действительны, у действительной кососимметричной матрицы все l_k чисто мнимые числа; в случае действительной ортогональной матрицы, а также унитарной матрицы все |l_k| = 1.

Характеристическое уравнение встречаются в самых разнообразных областях математики, механики, физики, техники. В астрономии при определении вековых возмущений планет также приходят к Характеристическое уравнение; отсюда и второе название для Характеристическое уравнение - вековое уравнение.
2) Характеристическое уравнение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
a₀ly ⁽ⁿ⁾ + a₁y ^(n-1) +... + a_n-1y" + a_ny = 0
- алгебраическое уравнение, которое получается из данного дифференциального уравнения после замены функции у и её производных соответствующими степенями величины l, т. е. уравнение
a₀lⁿ + a₁l^n-1 +... + a_n-1 y" + a_ny = 0.
К этому уравнению приходят при отыскании частного решения вида у = се^lх для данного дифференциального уравнения. Для системы линейных дифференциальных уравнений
 _, ,
Характеристическое уравнение записывается при помощи определителя

Характеристическое уравнение матрицы A = , составленной из коэффициентов уравнений данной системы.