Эллиптические функции

Определение "Эллиптические функции" в Большой Советской Энциклопедии

Эллиптические функции. Рис.

Эллиптические функции, функции, связанные с обращением эллиптических интегралов. Эллиптические функции применяются во многих разделах математики и механики как при теоретических исследованиях, так и для численных расчётов.
Подобно тому как тригонометрическая функция u = sinx является обратной по отношению к интегралу

так обращение нормальных эллиптических интегралов 1-го рода

  где z = sin jw, k — модуль эллиптического интеграла, порождает функции: j = am z — амплитуда z (эта функция не является Эллиптические функции) и w = sn z = sin (am z) — синус амплитуды. Функции cn — косинус амплитуды и dn z — дельта амплитуды определяются формулами


Функции sn z, cn z, dn z называют Эллиптические функции Якоби. Они связаны соотношением
sn²z + cn²z = k²sn²z + dn²z = 1.
На рис. представлен вид графиков Эллиптические функции Якоби. Они связаны соотношением
sn²z + cn²z = k²sn²z + dn²z = 1
На рис. представлен вид графиков Эллиптические функции Якоби для действительного x и 0 < k < 1; а

— полный нормальный эллиптический интеграл 1-го рода и 4K — основной период Эллиптические функции sn z. В отличие от однопериодической функции sin х, функция sn z — двоякопериодическая. Её второй основной период равен 2iK, где

  и  — дополнительный модуль. Периоды, нули и полюсы Э. ф. Якоби приведены в таблице, где m и n — любые целые числа.

где параметры g₂ и g₂ — называются инвариантами Ã(x). При этом предполагается, что нули e₁, e₂ и e₃ многочлена 4t³ — g₂t — g₃ различны между собой (в противном случае интеграл (*) выражался бы через элементарные функции). Эллиптические функции Вейерштрасса Ã(х) связана с Эллиптические функции Якоби следующими соотношениями:
,
,
.

Любая мероморфная двоякопериодическая функция f (z) с периодами w₁ и w₂, отношение которых мнимо, т. е. f (z + mw₁ + пw₂) = f (z) при m, n = 0, ±1, ±2,... и , является Эллиптические функции Для построения Эллиптические функции, а также численных расчётов применяют сигма-функции и тэта-функции.

  Изучению Эллиптические функции предшествовало накопление знаний об эллиптических интегралах, систематическое изложение теории которых дал А. Лежандр. Основоположниками теории Эллиптические функции являются Н. Абель (1827) и К. Якоби (1829). Последний дал развёрнутое изложение теории Эллиптические функции, названное его именем. В 1847 Ж. Лиувилль опубликовал изложение основ общей теории Эллиптические функции, рассматриваемых как мероморфные двоякопериодические функции. Представление Эллиптические функции через Ã-функцию, а также z-, s-функции дано К. Вейерштрассом в 40-х гг. 19 в. (две последние не являются Эллиптические функции).

Лит.: Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968; Уиттекер Э, Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье, пер. с англ., М., 1967.