Особое решение

Определение "Особое решение" в Большой Советской Энциклопедии

Особое решение. Рис.

Особое решение дифференциального уравнения, решение, в каждой точке которого нарушается единственность (см. Дифференциальные уравнения). Для уравнения у" = f (x, у) это значит, что через каждую точку Особое решение проходит несколько различных интегральных кривых (имеющих в этой точке общую касательную). При непрерывности f (x, у) последнее возможно лишь, если в точках Особое решение для функции f (x, у) не выполнено Липшица условие по у. Например, для уравнения  Особое решение является прямая у = x: через любую точку М₀ (х₀, у₀) этой прямой, кроме самой прямой, проходят интегральные кривые

Геометрически Особое решение представляет собой огибающую семейства интегральных кривых Ф (х, у, С) = 0, образующих общий интеграл уравнения.

Для дифференциального уравнения F (х, у, у" ) = 0 определяется дискриминантная кривая D (х, у) = 0 как результат исключения параметра р = у" из системы: F (х, у, р) = 0, (х, у, р) = 0. Особое решение является, вообще говоря, лишь частью этой кривой.
Лит.: Степанов В.В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.