Умножение

Определение "Умножение" в Большой Советской Энциклопедии

Умножение, операция образования по двум данным объектам а и b, называемым сомножителями, третьего объекта с, называемого произведением. Умножение обозначается знаком Х (ввёл англ. математик Умножение Оутред в 1631) или • (ввёл нем. учёный Г. Лейбниц в 1698); в буквенном обозначении эти знаки опускаются и вместо а ´ b или а • b пишут ab. Умножение имеет различный конкретный смысл и соответственно различные конкретные определения в зависимости от конкретного вида сомножителей и произведения. Умножение целых положительных чисел есть, по определению, действие, относящее числам а и b третье число с, равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а, так что ab = а + а +... + а (b слагаемых). Число а называется множимым, b – множителем. Умножение дробных чисел  и  определяется равенством  (см. Дробь). Умножение рациональных чисел даёт число, абсолютная величина которого равна произведению абсолютных величин сомножителей, имеющее знак плюс (+), если оба сомножителя одинакового знака, и знак минус (–), если они разного знака. Умножение иррациональных чисел определяется при помощи Умножение их рациональных приближений. Умножение комплексных чисел, заданных в форме a = а + bi и b = с + di, определяется равенством ab = ac – bd + (ad + bc) i. При Умножение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:
a = r₁ (cosj₁ + isin j₁),
b = r₂ (cosj₂ + isin j₂),
их модули перемножаются, а аргументы складываются:
ab = r₁r₂{cos (j₁ + j₂) + i sin ((j₁ + j₂)}.
Умножение чисел однозначно и обладает следующими свойствами:
1) ab = ba (коммутативность, переместительный закон);
2) a (bc) = (ab) c (ассоциативность, сочетательный закон);

3) a (b + c) = ab + ac (дистрибутивность, распределительный закон). При этом всегда а ×0 = 0; a×1 = а. Указанные свойства лежат в основе обычной техники Умножение многозначных чисел.

Дальнейшее обобщение понятия Умножение связано с возможностью рассматривать числа как операторы в совокупности векторов на плоскости. Например, комплексному числу r (cosj + i sin j) соответствует оператор растяжения всех векторов в r раз и поворота их на угол j вокруг начала координат. При этом Умножение комплексных чисел отвечает Умножение соответствующих операторов, т. е. результатом Умножение будет оператор, получающийся последовательным применением двух данных операторов. Такое определение Умножение операторов переносится и на другие виды операторов, которые уже нельзя выразить при помощи чисел (например, линейные преобразования). Это приводит к операциям Умножение матриц, кватернионов, рассматриваемых как операторы поворота и растяжения в трёхмерном пространстве, ядер интегральных операторов и т.д. При таких обобщениях могут оказаться невыполненными некоторые из перечисленных выше свойств Умножение, чаще всего – свойство коммутативности (некоммутативная алгебра). Изучение общих свойств операции Умножение входит в задачи общей алгебры, в частности теории групп и колец.